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パラレルリンクの動力学

今週末は2軸プロッタの動力学を組み込むべく,PC側で数値解析ソフトを作成中.

2軸プロッタのモデルを下図に示す.




2個のモータでリンク1,およびリンク2を駆動する平行リンク型の構造.
多リンクロボットの運動方程式は一般に以下のように書ける.

ここで,M(θ)は慣性項,h(θ,θ')はコリオリ力,遠心力等の非線形項,g(θ)は重力項である.
τはトルクを表し,上記の式が求まればロボットを駆動するに必要な関節トルクを求めることができる.

今回の2軸ロボットでは最初の部分の慣性項Mは以下の2x2行列となる.

見た目ゴッチャリしているが,よく見ると行列の対角成分は似たような形をしている.
この式にはおもしろい特性がある.


上記赤枠の部分が各軸が独立して持っているイナーシャであり,ここにはsinやcosが付いてないことから定数である.
そして青枠の部分が多軸が相互に干渉する部分であり,ここはアーム角度の関数になっていることがわかる.
そして良く見ると,青枠の2つの式はまったく同じである.
ここで,青枠の式のcosの前の係数に着目し,以下が成り立つようにリンクの寸法や重量を調節したとする.

するとcosの前の項はゼロとなり,青枠項がゼロとなる.
このとき,ロボットは下図のように各軸が完全に独立したとみなせる.




またコリオリ力や遠心力などの非線形項は,次の式で求まる.

偏微分式なのでとっつきにくいが,要は慣性行列Mから上の式を使えばh(q,q')も求まる,ということを意味している.
(あるいはロボットの運動エネルギTがすでに求まっていれば,それを使っても良い)
実際に計算すると以下を得る.


ここでも慣性行列の青枠式と同じ係数(下線部)が出てきている.
よって係数をゼロにする条件を満たすと,h(q,q')=0となり,ロボットは非線形性を持たない独立した1慣性モデルと等価になる.
なお,鉛直方向に運動させるときは,重力項はゼロにはできない.

このように機械的に非線形項をゼロに調節できるのは平行リンク型ならではの特徴であり,
たとえば下図のような2リンク直列型マニピュレータではリンクの長さや重量をいかに選んでも非線形項はゼロにできない.


直列型では固定された根元から見た場合,駆動部1の先に駆動部2が付いているので駆動部2が動けば当然駆動部1にも力やモーメントが伝わってしまう.
一方でパラレル型は2つの駆動の幾何学的合力で動くため,うまいことやればこれらを切り離すことができる.
このような特性は逆動力学計算の負荷を大幅に減らせるため,使わない手は無い.
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もやね

Author:もやね
長野県在住の会社員(メカニカル・エンジニア).
ロボットは完全な趣味としてやってます.
E-mail:
mo_ya_ne[a]yahoo.co.jp
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